Desmos和GeoGebra

发表于2022年3月12日由anntgg

平面函数建议用desmos，省事。它支持参数方程，滑块，离散数据等等…

如果要三维绘图，或者做几何图形(难用函数表达的，比如三角形)，建议Geogebra。
虽然Geogebra的功能比Desmos多得多，但是输入函数要麻烦些。

关于数学表达式，国内有个不错的Latex公式编辑器

如果是本地的文档需要插入数学公式，建议试试Typora。(轻量排版工具，可以导出各种格式。word的功能太多繁多反而不如Typora好用)

Geogebra建议下载经典6，Desmos只有安卓版可以下载，在google play商店见到过。

Geogebra在高中数学教学中的应用

发表于2019年5月13日由anntgg

因为跟学生讲课的许多时刻，涉及到一些图形变化，我觉得单纯的语言讲述特别干瘪，程度好的学生还好，基本讲完了后，用点心感受，都能自行想象出来，但差一点的学生，无论于我而言多么易于理解，但我的讲述于他而言就是“天书”，就是“外星语言”，为了沟通这“两个世界”的语言，我觉得迫切需要一个“翻译中枢”——图形语言

在这之前，一直都是用word自带的作图工具编辑图形，当然，用着用着，就无法忍受这些低级操作了，作一个三角函数图像就神烦，好不容易作好后，又丑陋不堪，尤其是一些对于图形精确度要求较高的图形，比如要说明在（0，π/2)上，sinx<x<tanx，作的图像怎么都有交点，拿这样的图给学生讲解，简直就是边讲边打自己脸

所以，那个冬天，铁了心要改变这种无力感，于是一顿猛如虎地搜索操作后，发现了Geogebra，并且痴迷式地摸索了一整天，发现它真的是理想中的完美数学作图工具，高中及以下阶段用起来绰绰有余。

当然我之前也知道“几何画板”这个东西，还被培训过，但一直觉得不好用，重点是它是收费的！收费的！收费的！而恰恰我穷，恰恰Geogebra没有因为免费而功能很low，相反比起几何画板有过之而无不及，如果把几何画板比作赵敏周芷若，那Geogebra就好比小昭，看似低微婢女，正经职业却是明教总教教主，才能城府、气质美貌均在二女之上，非常强大

下面介绍Geogebra（简称GGB）的一些主要使用范围和方法

1.作图编辑。这是它的主要功能，包含平面作图、和立体作图，我们以几个例子说明，比如作2018春考关于金拱门的那题的图，如下所示，

左边这幅图直接网上搜索即可，重点是画右边的图，首先根据数据求出抛物线方程，数据为AB=3，OC=4.5，假设令A为坐标原点，得到抛物线方程为y=-2x(x-3)，

打开Geogebra，在输入框输入函数f(x)=-2x(x-3)，按enter键（有的版本无需enter会直接出现图），绘图区就会出现函数图像

不难得到另一部分抛物线为y=-2x(x+3)，同样输入框输入g(x)=-2x(x+3)，按enter键，就初具雏形了

这个定义区间的过程，在很多函数作图中会用到，双击代数区的函数，即可修改区间，按function[函数,a,b]的格式即可定义区间，按enter键后，函数图像只显示(a,b)上的一段

原图中是有线段AB和OC的，所以画上线段，调整左边抛物线为虚线

选择测量角度，依次点击D、C、A三点（默认逆时针方向），会出现角度符号

调整直角符号的格式，使之符合原图规范

隐藏点、插入字母文本、隐藏网格和坐标轴，然后就得到和原图一样的图，导出图片即可插入word，或者直接微信截图也可

这是最常见的图形作法，这些常规操作即可满足日常作图需求，对于立体图形，高级版本虽然有立体模式，那些立体图形立体感也很强，但与课本的标准规范不一样，所以还是建议用平面作图的方式画立体图形，效果更佳，而平面几何作图，多摸索摸索，很容易上手，就不展开赘述了

2.解题验证，比如定点问题、零点问题、取值区间问题等等，以下题为例

这是复旦附中高二上学期期末的一道题，椭圆方程易得为x²+4y²=4，我们可以用GGB得到或者验证第三问的答案

根据题目意思，构建场景，设置变量P2A的斜率为k，则变量P2B的斜率为1-k，据此输入P2A、P2B的直线方程，与椭圆的交点即A、B两点，连结AB，得到直线l，为显示清晰，已将l设置为红色

设置显示直线l的踪迹，拉动滑杆，直线随之运动，且留下变化轨迹，可观察到定点为(-2,-1)，即得到答案

但凡轨迹问题、定点问题，基本手到擒来，当然，仅限于得到答案，过程还是需要去思考的，当然，很多时候，根据答案可以帮助思考，产生思路

更多时候，作为老师，知道方法，但又懒得算，用GGB找答案，是再好不过了，比如下面这题，太常见了，但确实有点运算量，不如直接GGB，可以给老师带来便利

3.动态导出，制作素材，随时发送、随时演示

每个GGB文件都是可以单独保存的，但不是每一个老师或者学生都安装了GGB，比如我想在微信上向某同学展示上面例子拉动滑竿时的变化趋势，但GGB文件不通用，演示起来不方便，所以，导出gif动图就是一个很好的解决途径

按上述路径导出即可，导出的gif可以像图片一样随意发送上传

2中例题导出后的动图形态

当然，给的例子都是很常见的、很普通的，摸索摸索即能掌握。也会有一些比较难呈现的图形，需要我们动脑筋思考，如何去呈现出来，比如，下面两个动图，如果你能用GGB呈现出来，那么于你而言，高中及以下阶段，基本没有不会呈现的数学动图了，(●’◡’●)

这是早年上海的一道经典高考题，图中有方程曲线、平面立体几何、滑杆动图的综合呈现，这个能完美呈现的话，其他高中阶段作图基本小菜一碟。

——转自沈翔公众号

GeoGebra在农村初中数学教学中的应用研究

发表于2017年4月8日由anntgg

河南大学研究生高竞男同学论文《GeoGebra在农村初中数学教学中的应用研究》

GeoGebra概况:

GeoGebra软件是一个结合几何、代数与微积分的动态数学软件，取名于单词 geometry（几何）与 algebra（代数）的结合，因此 GeoGebra 同时具有处理代数与几何的功能。一方面它是一个动态的几何软件，你可以绘制并修改点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线及函数，另一方面它也有处理变数的能力，并对函数作微分与积分。在初中数学课堂中运用 GeoGebra，不仅可以减少教师展示教学内容的负担、提高展示内容的精确度，使数学课堂教学收到事半功倍的效果，还可以提高学生的学习兴趣，增强学生解决问题的动手能力，促进学生抽象思维能力的发展。

谁开发的GeoGebra:

GeoGebra软件由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授 Markus Hohenwarter 于2001 年在萨尔滋堡大学设计开发，凭借着免费、开源、可脱机和跨平台使用的优势，在瑞士、奥地利、德国、西班牙、芬兰、挪威等欧洲国家得到了广泛的推广和应用。该项目于 2008 年以后在美国弗罗里达州立大学继续维护，继而在北美地区得到了推广。目前，中国台湾地区已有多名教授和数千名教师投入到对该软件的研究，并将它应用于实际的课堂教学中。2009 年底，台湾师范大学物理系的黄福坤教授与数学系的左台益副教授及其数学系的硕士博士团队将 GeoGebra3.2 版教程汉化完成（繁体版），使得该软件为广大中国用户所知。但与已经得到广泛研究应用的几何画板等软件相比，我国内陆地区对 GeoGebra 的应用研究目前几乎刚刚起步，笔者通过在万方数据库与 ScienceDirect 搜索的相关英文文献数量上看，涉及到 GeoGebra 应用的英文文献 2008 年发表了 1 篇，2009 年 8 篇，到 2010 年9 月为止有 12 篇，可以看出其受关注的程度在不断增加，发展的速度也是非常快的。但是通过中国学术期刊数据库搜索相关中文文献，目前仅有北京航空航天大学的左晓明博士的一篇论文《基于 GeoGebra 的数学教学全过程优化研究》，发表于《数学教育学报》2010 年第 2 期。由此可见，国内对此的研究还十分缺乏。

GeoGebra在世界上推广情况:

GeoGebra 是一个在 GPL 协议下发布的动态数学软件。该项目于 2001 年由Markus Hohenwarter 在萨尔茨堡大学创建，现在在佛罗里达州立大学进行维护。GeoGebra 由 Java 写成，因此可以跨平台使用。其绘图的基本元素包括点、直线、线段、多边形、向量、圆锥曲线和函数，3.2 及以后的版本还加入了电子表格和正在不断完善的数据处理功能。GeoGebra 可以完成大量初高等数学中的绘图工作，如绘制圆锥曲线，对函数求导数，积分，对多项式函数求极值等。GeoGebra同时具有处理代数与几何的功能，视窗左边是“代数区”，右边是“几何区”，也称为“绘图区”，如图 2-1。GeoGebra 在欧洲及北美地区已得到广泛的推广并广受好评，自 2002年开始，曾获欧洲学术软件奖（European Academic Software Award，2002）、奥地利教育软件奖（Austrian Educational Software Award，2003）、德国教育软件奖（German Educational Software Award，2004）、德国教育媒体奖（GermanEducational Media Award，2004）、国际免费软件奖（International Free Software Award,，category Education，2005）、由教育传播与技术颁发的发展奖（AECT 2008: Development award by the Association for Educational Communications and Technology）、人文科学技术奖（Award for technology benefiting humanity， category education，2009）等多项国际奖励.

GeoGebra 与几何画、超级画板等软件的对比:

（1）在立体几何与圆规曲线演示的操作中更加简便

几何画板设计的本意是用于平面几何的教学，因此其绝大多数功能都是基于尺规作图完成，这固然有助于广大教师和平几爱好者更好地领会尺规作图的精髓，但是对于绝大多数只是抱着应用于实际课堂目的的广大教师来说，利用尺规作图来实现解析几何甚至物理、化学方面的演示实在是一件非常痛苦的事情，在这方面，通过几位平面几何专家叶中豪、陈殿林等老师的努力，基本实现了绝大多数尺规作图问题在几何画板中的演示，其过程极为复杂，用到了很多高等几何方面的知识，而几何画板中圆锥曲线的作图乃至求作切线问题一直是一大难题。

超级画板则提供了允许用户利用复制粘贴的数学表达式进行计算和作图的功能，使曲线作图和表达式测量方便了许多。而在 GeoGebra 中，用户可以直接通过点选钮实现非标准椭圆的作图及作切线等操作，非常简单、方便。

（2）数形结合几何画板中仅有形的动态变化，这对于揭示图形的精微性质，特别是解析几何和函数部分的学习，是一个很大的缺点。而 GeoGebra 则融合了代数与几何两大学科，做到了图形与代数方程的同步变化，实现了真正的动态演示．可以通过在下方的命令输入框直接输入圆锥曲线方程的方式（如输入“X2/4+Y2=1”）直接画出图形，甚至可以用向量运算的方式输入（A+B+C）/3 来直接显示△ABC 的重心点.

（3）完全免费，易二次开发

我们曾使用过众多的作图软件，除了专业的大型制图软件之外，小型的作图软件中要么不能实现动态演示，要么输出效果欠佳、难以升级及二次开发、收费昂贵等，均存在诸多问题。GeoGebra 作为一款基于 Java 语言的软件，易于编写和二次开发。

GeoGebra在台湾的普及

台湾是我国 GeoGebra 研究的热门地区，三年前台湾师范大学物理系的黄福坤教授开始接触到该软件，后来与数学系的左台益教授合作进行推广。短短几年内他们带领台湾师范大学数学系的硕士博士团队对 GeoGebra 的软件和教程进行汉化，和台北市几所中学的数学教师联合推广，建立了一系列的学习网站。左台益教授主持的“TaiwanGGB 论坛”与“GeoGebea 工作坊”是两个很好的 GeoGebra学习网站，2010 年暑假还开设了 GeoGebra 培训班，对广大中学数学教师进行免费培训。台湾师范大学数学系的陈创义教授主持的 GeoGebra 网站页面十分简单，网页文档中利用超链接的方式对常用的操作步骤进行讲解。中学应用GeoGebra 较为成熟的学校在台湾也有很多，比较知名的是宜兰县罗东高中的官长寿老师主持的“阿寿工作坊 GeoGebra 工作室”，该网站上传了很多 GeoGebra的应用案例，对其他人的应用有着很好的借鉴作用。

GeoGebra的参考资源:

[1] GeoGebra 官方网站．http://www.GeoGebra.org

[2] GeoGebra．陈创义，台湾师范大学数学系．

http://140.122.140.4/~cyc/_private/geogebra/index.htm

[3] GeoGebea 工作坊．左台益．台湾师范大学数学系．

http://science.math.ntnu.edu.tw/ELME/workshop.htm

[4] WIKI 中文站．黄福坤．台湾师范大学物理系．

http://www.GeoGebra.org/en/wiki/index.php/中文

[5] 阿寿工坊 GeoGebra 工作室．官长寿．宜兰县罗东高中．

http://140.111.115.8/longlife/GeoGebra/index.htm

[6] 美国数学学会．http://www.ams.org

[7] Mr. L’s Math(Tools & Techniques for Math Teachers and Students)

http://www.mrlsmath.com/category/geogebra /

数形结合的利器：GeoGebra

发表于2017年4月8日由anntgg

当老师们在进行线性规划、函数拟合和概率统计等知识教学的时候，往往绘制图形的环节就占了课堂的很多时间，这使得课堂的教学容量小、效率低。这时老师们最想要的就是有一个能既快又好的作图工具来打造高效课堂。大家可能会想到几何画板，几何画板侧重于欧氏几何的作图，在代数方面相对较弱，用来处理代数与几何相结合的问题不是它的长处，而且它不能很好地揭示数与形之间的内在联系。此时如果使用GeoGebra软件，则会轻松地解决这个问题。相对几何画板而言，在大陆，GeoGebra使用者比较少，而在港台地区则较为普及。下文将会对它做出简略的介绍，希望老师们也能喜欢上它。
● GeoGebra的主要功能及特点
GeoGebra是一套结合几何、代数、数据表、图形、统计和计算的动态数学软件，同时具有处理代数与几何的功能。一方面它是一个动态的几何软件，可以绘制并修改点、向量、线段、直线、多边形、圆锥曲线及函数；另一方面它也有处理代数的能力，可以实现对函数作微分与积分、求方程的解和数据统计等功能。它能做到图形与代数方程的同步变化，实现了真正的动态演示。
安装并打开软件（官方下载地址：http：//www.geogebra.org），最新版本是GeoGebra5.0，相比4.0版而言它增加了3D作图工作区，但它的三维效果比起Cabri 3D来还是有差距的，因此不提倡用它和几何画板制作三维课件。软件内设包括简体中文在内的50多个国家的语言，选择简体中文语言，图1所示为软件界面。
其界面包括菜单栏、工具栏、代数区、主绘图区、工作表和输入框。基本的操作方法与几何画板等软件相似，本文不多阐述。这里只说说它特有的一些操作技巧，方便大家能快速入门。
（1）代数区和主绘图区是同步变化的，如果要改变图形的颜色等相关属性，若主绘图区的图形太多不好选取时，可以在代数区里选中相关对象进行设置。
（2）当选中工具栏中的工具后，在工具栏的最右边会显示相关物体工具的名称，单击名称会弹出一个所选中的工具的使用说明对话框。
（3）在输入框的最右边位置有一个按钮，点击按钮会出现一个指令说明区，如图2所示，里面有分类好的所有的输入指令说明，选中其中一个指令时，会出现输入格式说明，十分方便。双击指令或单击“粘贴”按钮，指令会自动粘贴到输入框中，再次单击按钮会隐藏指令说明区。
（4）打开一个做好了的GeoGebra课件，执行“查看/作图过程”命令（或“作图过程导航条”命令），会显示整个课件的制作过程。
GeoGebra还可以导出生成动态网页，成为网页形式课件，这也顺应了网络时代的教学要求，注意浏览器需要安装Java环境才能运行。
● GeoGebra在教学中的简单应用
GeoGebra在函数曲线、概率统计、动态演示等方面有着广泛的应用。使用得当的话，不仅可以减少教师展示教学内容的负担、提高展示内容的精确度，使数学课堂教学收到事半功倍的效果，还可以提高学生的学习兴趣，增强他们解决问题的动手能力，促进其抽象思维能力的发展。下文将通过几个有代表性的例子说明它在教学中的简单应用。
1.GeoGebra在线性规划教学中的应用
利用GeoGebra可以快速绘制出方程、不等式及函数的图形。对于线性规划的不等式方程来说，它没有快速画图方法，只能一个一个地去画，先画可行域，然后画直线并平移，最后在可行域内取最大最小值，没有捷径。这样一来老师们会觉得处理起来很麻烦，单单画图就会花掉10多分钟，因此一节课讲不了几道例题，此时利用GeoGebra进行教学的话，效率会提高很多。
案例1：某工厂生产甲产品和乙产品。已知生产甲种产品1吨需耗A种矿石10吨，B种矿石5吨，煤4吨；生产乙种产品1吨需耗A种矿石4吨，B种矿石4吨，煤9吨。每1吨甲种产品的利润是600元，每1吨乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300吨，B种矿石不超过200吨，煤不超过360吨。甲、乙两种产品应各生产多少吨（精确到0.1吨），能使利润总额达到最大值？
这是人教版高中数学教材上的一道例题。首先，在输入框中输入直线方程，如“5x+2y=150”，按“回车”键后，在代数区内会自动出现直线方程“a： 5x+2y=150”，同时在主绘图区内自动画出直线。按同样的方法再绘制出另外两条直线。其次，求出直线的交点，在输入框中输入求交点的指令“Intersect[a， b]”，按“回车”键后，会得到直线a和b的交点A，同理可以绘制出其他的交点。最后，绘制出目标函数直线“L：3x+5y=0”，此时可以移动观察目标函数直线，找到最优解。整个过程一两分钟就可以完成了，图3为其线性规划应用。
2.GeoGebra在函数拟合教学中的应用
如何有效地拟合指数、对数等函数，这对很多人来说是个难题，大多数人会想到用Matlab软件，但Matlab软件太过专业和复杂，让老师们望而生畏。有了GeoGebra后这一切变简单了，它提供了如指数、对数和n次多项式等基本的曲线拟合函数命令，可以直接得出函数的解析式。
案例2：某地区不同身高（单位：cm）的未成年男性的体重（单位：kg）平均值如下表：
根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y与身高x函数关系？
这也是课本上的一道例题。首先，把实验数据输入工作表中，这里分身高（x）和体重（y）两列。其次，全选两列数据，单击鼠标右键，在弹出的对话框中选择“新增/点集”命令，此时，在代数区内会出现一系列的点坐标和点的列表list1。最后，在输入框里输入拟合函数，可以是指数函数“FitExp[list1]”或二次函数命令“FitPoly[list1，2]”等，输完回车后主绘图区内会自动绘制出函数图像。教师可以让学生尝试各种曲线进行拟合，从而得出最佳曲线（如下页图4）。
3.GeoGebra在概率统计教学中的应用
相比几何画板，GeoGebra还有一个优势就是概率统计功能。我们在概率统计教学中会让学生做一些如抛硬币和掷骰子的实验，这可以帮助学生更好地理解定义。但抛硬币要抛很多次才能使实验结果接近理论值，而在课堂上是没有足够的时间做这样大量重复的实验的，只能让学生课后抽时间完成。此时如果使用GeoGebra进行模拟实验，充分利用它的图形、统计功能，就可以很好地解决这个问题。
案例3：掷骰子的实验，通过这个实验研究随机事件A“掷一枚均匀的骰子，3朝上”发生的频率。实验分四步。
（1）将全班分组，每两人分成一小组做掷骰子实验，分别掷骰子20次，一个学生掷骰子另一个学生记下3朝上的频数和频率，并请每个小组将实验结果汇总到组长那里。
（2）分析结果：每个小组做实验20次，3朝上的频率相同吗？为什么实验次数相同然而3朝上的频率不相同？这反映了频率的什么特性呢？引导学生了解频率的偶然性。
（3）观察数据猜想：大量重复实验中随机事件A的频率会有什么变化趋势？
（4）利用GeoGebra进行n次掷骰子实验，当次数越大时，发现3朝上的频率和其他数朝上的频率是相等的，从而验证猜想。图5是进行50次和400次实验的结果，从图形中很直观地比较得出实验次数越多频数越接近的结论。
在这个实验中，教师通过GeoGebra动态演示实验过程，实现了数据和图形同步变化，而且可以让学生观察到每一次实验的结果。这是常规教学和其他教学软件无法做到的。
以上案例只是GeoGebra软件在教学中的简单应用，充分体现了它在数形结合方面的强大功能，限于篇幅，这里不再举例，更多的要靠大家去学习和探索。总而言之，GeoGebra与几何画板和Cabri 3D相比，有自己的优势和不足，因此，在教学过程中学会根据教学内容合理地选择课件制作工具才是最实用和有效的。